IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS

 Assalamu'alaikum wr.wb

Perkenalkan nama saya Zahro Agusta Tilana Mu'adzah, dari kelas XI ipa 4. Dalam pertemuan kali ini saya akan membahas tentang IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS, berikut adalah contohnya:

Contoh soal 1.

Sederhanakanlah bentuk berikut ini sebagai jumlah atau selisih sinus atau kosinus.

a. 3 sin c sin y

b. 4 cos (x + y) sin (x - y)

c. cos (a + 𝜋) cos (a - 𝜋)

Jawab

a. 3 sin x sin y = 3 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))

                        = 3 × ½ (cos (x - y) - cos (x + y))

                        = 3 × ½ (cos x - cos y - cos x - cos y)

                        = 3 × ½ (-2 cos y)

                        = -3 cos y

b. 4 cos (x + y) sin (x - y) = 4 × ½ (sin (A + B) - sin (A - B))

                                          = 4 × ½ (sin ((x + y) + (x - y)) - sin ((x + y) - (x - y)))

 

                                          = 2 (sin ((x + y) + (x - y)) - sin ((x + y) - (x - y)))

                                          = 2 (sin (x + y + x - y) - sin (x + y - x + y))

                                          = 2 (sin (2x) - sin (2y))

                                          = 2 sin (2x) - 2 sin (2y)

c. cos (a + 𝜋) cos (a - 𝜋) = ½ (cos (A + B) + cos (A - B))

                                        = ½ (cos ((a + 𝜋) + (a - 𝜋)) + cos ((a + 𝜋) - (a - 𝜋)))

                                        = ½ (cos (a + 𝜋 + a - 𝜋) + cos (a + 𝜋 - a + 𝜋))

                                        = ½ (cos (2a) + cos (2𝜋))

                                        = ½ cos (2a) + ½ cos (2𝜋))

Contoh soal 2.

Tentukanlah nilai berikut ini.

a. cos 120º sin 60º

b. sin 75º cos 15º

Jawab

a. cos 120º sin 60º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))

                              = ½ (sin (120º + 60º) - sin (120º - 60º))

                              = ½ (sin (180º) - sin (60º))

                              = ½ (0 - ½√3)

                              = ½ (-½√3)

                              = -¼√3

b. sin 75º cos 15º = ½ (sin (A + B) + sin (A - B))

                             = ½ (sin (75º + 15º) + sin (75º - 15º))

                             = ½ (sin (90º) + sin (60º))

                             = ½ (1 + ½√3)

                             = ½ + ¼√3

Contoh soal 3.

Tentukanlah nilai berikut ini.

a. 2 sin 52,5º sin 7,5º

b. 2 cos 52,5º cos 7,5º

Jawab

a. 2 sin 52,5º sin 7,5º = 2 × ½ (cos (A - B) - cos (A + B))

                                  = (cos (52,5º - 7,5º) - cos (52,5º + 7,5º))

                                  = (cos (45º) - cos (60º))

                                  = ½√2 - ½

b. 2 cos 52,5º cos 7,5º = 2 × ½ (cos (A + B) + cos (A - B))

                                    = (cos (52,5º + 7,5º) + cos (52,5º - 7,5º))

                                    = (cos (60º) + cos (45º))

                                    = ½ + ½√2

Contoh soal 4.

Hitunglah nilai-nilai berikut ini.

a. sin 50º sin 40º - cos 95º cos 85º

b. cos 40º cos 20º - sin 70º sin 50º

c. cos 75º sin 15º + sin 75º cos 15º

Jawab

a. sin 50º sin 40º = ½ (cos (A - B) - cos (A + B))

                            = ½ (cos (50º - 40º) - cos (50º + 40º))

                            = ½ (cos (10º) - cos (90º))

                            = ½ (cos (10º) - 0)

                            = ½ cos (10º)

cos 95º cos 85º = ½ (cos (A + B) + cos (A - B))

                         = ½ (cos (95º + 85º) + cos (95º - 85º))

                         = ½ (cos (180º) + cos (10º))

                         = -½ + ½ cos (10º)

Maka

sin 50º sin 40º - cos 95º cos 85º = ½ cos (10º) - (-½ + ½ cos (10º))

                                                   = ½ cos (10º) + ½ - ½ cos (10º)

                                                   = ½

b. cos 40º cos 20º = ½ (cos (A + B) + cos (A - B))

                             = ½ (cos (40º + 20º) + cos (40º - 20º))

                             = ½ (cos (60º) + cos (20º))

                             = ½ (½ + cos (20º))

                             = ¼ + ½ cos (20º)

sin 70º sin 50º = ½ (cos (A - B) - cos (A + B))

                        = ½ (cos (70º - 50º) - cos (70º + 50º))

                        = ½ (cos (20º) - cos (120º))

                        = ½ (cos (20º) + ½)

                        = ½ cos (20º) + ¼

Maka

cos 40º cos 20º - sin 70º sin 50º = ¼ + ½ cos (20º) - (½ cos (20º) + ¼)

                                                   = ¼ + ½ cos (20º) - ½ cos (20º) - ¼

                                                   = 0

c. cos 75º sin 15º = ½ (sin (A + B) - sin (A - B))

                            = ½ (sin (75º + 15º) - sin (75º - 15º))

                            = ½ (sin (90º) - sin (60º))

                            = ½ (1 - ½√3)

                            = ½ - ¼√3

sin 75º cos 15º = ½ (sin (A + B) + sin (A - B))

                        = ½ (sin (75º + 15º) + sin (75º - 15º))

                        = ½ (sin (90º) + sin (60º))

                        = ½ (1 + ½√3)

                        = ½ + ¼√3

Maka

cos 75º sin 15º + sin 75º cos 15º = ½ - ¼√3 + (½ + ¼√3)

  =1